Sistemas digitales, numeración y conversiones

Un sistema digital cuenta, guarda y procesa cantidades. Fuera de la máquina usamos decimal (base 10). Dentro, casi todo es binario (base 2): cada dígito vale 0 o 1. Octal (base 8) y hexadecimal (base 16) son atajos para no escribir tiras enormes de unos y ceros.

Esta unidad es la base del primer parcial: si no conviertes con método, el resto (códigos, Hamming, BCD en displays) se cae.

Fuente

Rojas, cap. 2 — sistemas numéricos y códigos y Floyd, cap. 2 en CALETAS. Guía de exámenes: Exámenes de Rojas.

Qué te van a pedir

No basta “sé que binario es 0 y 1”. Tienes que pasar un número de una base a otra en papel, justificar los restos o los pesos, y no confundir binario puro con BCD. El trabajo Hamming usa estos mismos bits; va después de esta unidad.

Sistemas de numeración

Un sistema posicional da a cada dígito un peso: potencia de la base, contando desde la derecha (posición 0).

N = d_n · bⁿ + ⋯ + d₁ · b¹ + d₀ · b⁰

Sistema	Base	Dígitos	Ejemplo
Decimal	10	0–9	45₁₀
Binario	2	0, 1	101101₂
Octal	8	0–7	55₈
Hexadecimal	16	0–9 y A–F (10–15)	2D₁₆

MSB y LSB (bit más y menos significativo)

En inglés se abrevian así; en el parcial y en datasheets salen las siglas, así que conviene la traducción directa:

Sigla	Inglés	Traducción	Dónde está	Peso
MSB	Most Significant Bit	bit más significativo	extremo izquierdo	el mayor (en 8 bits: 128)
LSB	Least Significant Bit	bit menos significativo	extremo derecho	el menor (siempre 1)

“Significativo” aquí no significa “importante en el texto”: significa cuánto aporta al valor. Si volteas el LSB, el número cambia en 1. Si volteas el MSB de un byte, cambia en 128.

Ejemplo 101101₂ (6 bits):

posición	5	4	3	2	1	0
bit	1	0	1	1	0	1
peso	32	16	8	4	2	1
	MSB					LSB

El MSB es el 1 de la izquierda (vale 32). El LSB es el 1 de la derecha (vale 1). En un byte se numeran bits 7…0: bit 7 = MSB, bit 0 = LSB.

Por qué lo piden con nombre

En hex, el nibble alto es el más significativo (izquierda). En BCD, el nibble de decenas es el MSB del grupo. Más adelante, en números con signo, el MSB es el bit de signo (0 positivo, 1 negativo). Si mezclas izquierda/derecha, el número entero sale mal aunque “hayas convertido”.

Nibble, byte y la tabla hex ↔ binario

Un bit es un 0 o un 1. Un nibble (a veces nible) es un grupo de 4 bits. Un byte son 8 bits = dos nibbles.

Cuatro bits dan 2⁴ = 16 combinaciones: de 0000 a 1111. El hexadecimal usa exactamente esas 16: un dígito hex es un nibble. Por eso 2D₁₆ son dos nibbles: 0010 y 1101.

Eso se escribe en una tabla de equivalencias (abajo). Se parece a una tabla de verdad porque lista todas las combinaciones de 4 bits; la diferencia es el significado de la última columna.

Qué es una tabla de verdad

Una tabla de verdad enumera todas las combinaciones de entradas (0 y 1) y, para cada una, el resultado de una función lógica (AND, OR, F = A · B + C…). Con n entradas hay 2ⁿ filas.

La tabla de aquí no es la de una compuerta: la columna extra es el nombre de ese patrón (hex o decimal). La forma es la misma; el uso no. Las tablas de las compuertas sí son de verdad.

Hex	Binario (nibble)	Decimal
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
A	1010	10
B	1011	11
C	1100	12
D	1101	13
E	1110	14
F	1111	15

Octal es lo mismo con 3 bits (8 combinaciones): 0 → 000 … 7 → 111.

Conversiones

El binario es el centro: casi todo pasa por ahí. Las flechas ↔ son bilaterales (idas y vueltas). Decimal ↔ binario va directo. Hex ↔ binario y octal ↔ binario también (agrupando bits). Decimal ↔ hex no se agrupa: o pasas por binario, o divides entre 16.

Decimal 10

↔ pesos / ÷ 2

Octal 8

↔ grupos de 3

Binario 2

↔ grupos de 4

Hex 16

Decimal ↔ hex no se agrupa: vas Decimal → Binario → Hex (o ÷ 16).

Binario → decimal

Hay dos métodos que dan el mismo resultado. En el parcial vale cualquiera si lo justificas.

Método 1 — suma de pesos. Bajo cada bit pones su potencia de 2 (… 32 16 8 4 2 1) y solo sumas donde el bit es 1.

Ejemplo 101101₂:

posición	5	4	3	2	1	0
bit	1	0	1	1	0	1
peso	32	16	8	4	2	1
aporta	32	—	8	4	—	1
	MSB					LSB

suma: 32 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀

Los ceros no aportan (casillas con —). En verde: 32 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀.

Método 2 — duplicar y sumar (desde el MSB). Tomas el primer bit (izquierda). Luego, por cada bit que sigue: (lo que llevas) × 2 + ese bit. El 2 se escribe en cada renglón; no hay problema en repetir el número.

101101₂, de izquierda a derecha:

Bit que entra	Operación	Resultado
1 (MSB)	empiezas con ese bit	1
0	1 × 2 + 0	2
1	2 × 2 + 1	5
1	5 × 2 + 1	11
0	11 × 2 + 0	22
1 (LSB)	22 × 2 + 1	45

Otra vez 45₁₀.

Qué es la regla de Horner

William George Horner (siglo XIX) describió una forma de evaluar un polinomio anidando sumas y productos, sin calcular cada potencia por separado.

Un número en base b es un polinomio: el bit más a la izquierda multiplica bⁿ, el siguiente bⁿ⁻¹, y el LSB multiplica b⁰ = 1. Eso se factoriza así:

101101₂ = (((((1)×2 + 0)×2 + 1)×2 + 1)×2 + 0)×2 + 1

Cada paréntesis es un renglón de la tabla: llevas × 2 + bit. Por eso “duplicar y sumar” y “regla de Horner” son el mismo método cuando la base es 2.

En hexadecimal sería × 16 + dígito; en decimal, × 10 + dígito. No hace falta memorizar 32, 64, 128…: el anidado las genera solo.

Útil si el número es largo. Con 6–8 bits, la suma de pesos sigue siendo más visual.

Cuál usar en el examen

Con 6–8 bits, la suma de pesos es la más clara (el diagrama de arriba). Si te trabas con un peso, comprueba con duplicar y sumar. Si no coinciden, hay un bit mal copiado.

Decimal → binario (división entre 2)

Divide entre 2, anota el resto (0 o 1). El binario se lee de abajo hacia arriba (el último resto es el MSB).

45₁₀:

45 ÷ 2 = 22  resto 1
22 ÷ 2 = 11  resto 0
11 ÷ 2 =  5  resto 1
 5 ÷ 2 =  2  resto 1
 2 ÷ 2 =  1  resto 0
 1 ÷ 2 =  0  resto 1

→ 101101₂ (comprueba: 32+8+4+1 = 45).

Binario ↔ octal (grupos de 3)

Desde el LSB, agrupa de a 3 bits. Completa con ceros a la izquierda si hace falta. Cada grupo es un dígito octal.

101101₂ → 101 101 → 55₈

Al revés: cada dígito octal → 3 bits. 153₈ → 001 101 011 → 1101011₂.

Binario ↔ hexadecimal (grupos de 4)

Igual, pero de a 4 bits.

101101₂ → 0010 1101 → 2D₁₆

2F₁₆ → 0010 1111 → 101111₂ = 32+8+4+2+1 = 47₁₀.

Decimal ↔ hexadecimal

En el mapa no hay flecha directa por agrupación entre decimal y hex: 10 y 16 no “parten” el mismo número de bits. El camino de aula (y el más seguro en el parcial) es pasar por el centro:

decimal → binario → hex y al revés hex → binario → decimal

Ida (45₁₀ → hex), por binario:

1. Decimal → binario (÷ 2): 45₁₀ = 101101₂ (ya lo hiciste arriba).
2. Binario → hex (grupos de 4 desde el LSB). Sobran 6 bits: completa a la izquierda con ceros → 0010 1101.
3. Cada nibble es un dígito hex: 0010 = 2, 1101 = D → 2D₁₆.

Vuelta (2D₁₆ → decimal), por binario:

1. Cada dígito hex → 4 bits: 2 = 0010, D = 1101 → 00101101₂.
2. Binario → decimal (pesos): 32+8+4+1 = 45₁₀.

Otro camino (sin agrupar bits): divide el decimal entre 16, restos de abajo hacia arriba (10=A … 15=F). No es “más directo” en el mapa: es otra aritmética, misma llegada.

45 ÷ 16 = 2  resto 13 → D
 2 ÷ 16 = 0  resto  2 → 2

Lees restos de abajo arriba: 2D₁₆. Para volver: 2×16 + 13 = 45.

Qué no hacer

No intentes “partir” el 45 en dígitos hex a ojo como si fueran nibbles. Eso solo vale después de estar en binario (o con la división entre 16). Octal es el mismo truco: grupos de 3 bits, o ÷ 8.

Errores que restan en el parcial

1. Leer los restos de la división de arriba hacia abajo (al revés).
2. Agrupar octal de a 4 o hex de a 3.
3. Olvidar rellenar ceros a la izquierda en el grupo del MSB.
4. Tratar BCD como si fuera el binario del número entero (siguiente sección).

Parte fraccionaria

Separa el número en entera y fraccionaria (el punto). La parte entera se convierte con los métodos de arriba. La fracción no se divide entre 2: se multiplica por la base.

Decimal → binario (fracción)

Regla: fracción × 2. El entero que aparece (0 o 1) es el siguiente bit después del punto. Te quedas solo con la parte decimal nueva y repites. El primer bit que sale es el de más peso a la derecha del punto (2⁻¹ = 1/2).

Paras cuando la fracción queda 0, o cuando el profesor pide n bits (si no termina, se aproxima).

Ejemplo 0,625₁₀:

Paso	Cuenta	Bit que sale	Fracción que sigue
1	0,625 × 2 = 1,250	1	0,250
2	0,250 × 2 = 0,500	0	0,500
3	0,500 × 2 = 1,000	1	0 (terminó)

Los bits se leen de arriba hacia abajo (el primero es el más cercano al punto): 0,101₂.

Número mixto: convierte cada lado y junta con el punto. 5,625₁₀ → 5 = 101₂ y 0,625 = 0,101₂ → 101,101₂.

Si no cierra en 0 (pasa con 0,1₁₀), el binario se repite. Escribes los bits que pidan y listo; no es un error del método.

Binario → decimal (fracción)

A la derecha del punto los pesos son 1/2, 1/4, 1/8, 1/16… (o 0,5, 0,25, 0,125…). Solo sumas donde hay 1. Igual que en enteros, pero hacia la derecha.

0,101₂:

Bit	Peso	Aporta
1 (junto al punto)	0,5	0,5
0	0,25	—
1	0,125	0,125

0,5 + 0,125 = 0,625₁₀. Con la parte entera: 101,101₂ = 5 + 0,625 = 5,625₁₀.

Octal y hex (fracción)

Misma idea, otra base: fracción × 8 (octal) o × 16 (hex). El entero que sale es el siguiente dígito (en hex, 10–15 = A–F).

En el mapa del centro sigue valiendo el atajo: fracción decimal → binario → hex (grupos de 4 bits a la derecha del punto, completar con ceros a la derecha si hace falta).

Códigos que caen con esta unidad

En el mismo capítulo 2, después de convertir, vienen BCD, exceso-3, Gray y paridad (esta última se cierra en Hamming).

BCD no es binario

BCD (Binary-Coded Decimal, decimal codificado en binario): cada dígito decimal se traduce solo, con 4 bits, usando la misma tabla de 0–9 del nibble. No conviertes el número entero a binario y luego lo cortas.

Tabla que usas (solo 0–9; 1010…1111 no son dígitos BCD):

Dígito	BCD (4 bits)	Dígito	BCD
0	0000	5	0101
1	0001	6	0110
2	0010	7	0111
3	0011	8	1000
4	0100	9	1001

45₁₀ en BCD, dígito a dígito:

1. El 4 → mira la tabla → 0100
2. El 5 → 0101
3. Pégalos: 0100 0101

El binario puro de 45 es otra cuenta: 32+8+4+1 = 101101₂. Si agrupas ese 101101 de a 4 (0010 1101) obtienes hex 2D, no BCD. Por eso la columna “binario puro” y la de “BCD” no coinciden y las dos están bien.

59₁₀ en BCD: 5 → 0101, 9 → 1001 → 0101 1001.
Binario puro: 32+16+8+2+1 = 111011₂ (otra vez distinto).

Cómo comprobar BCD

Cuenta los nibbles: cada uno debe ser un dígito 0–9. 0100 0101 = 4 y 5 → 45. 0101 1001 = 5 y 9 → 59. Si ves 1010 o más, esa conversión BCD está mal.

En parciales aparecen interruptores 00–99 (4 bits de decenas + 4 de unidades) y displays. “Pasa 59 a BCD” no es “pasa 59 a binario”.

Exceso-3

A cada dígito decimal le sumas 3 y lo pones en 4 bits: 0 → 0011, 9 → 1100.
59₁₀ en exceso-3: 5+3=8 → 1000, 9+3=12 → 1100 → 1000 1100.

Sirve para aritmética BCD (el 74LS83 aparece más adelante). Aquí basta saber generarlo dígito a dígito.

Código Gray

El código Gray (o binario reflejado) sirve para que, al pasar de un número al siguiente, solo un bit cambie. En binario normal, 7 → 8 es 0111 → 1000: cambian cuatro bits a la vez; un encoder mecánico puede leer un valor imposible a mitad de camino. Gray evita eso. No se usa para sumar: no tiene pesos 1, 2, 4, 8.

De 0 a 7 (mira que cada fila cambia un solo bit respecto a la anterior):

Decimal	Binario	Gray
0	000	000
1	001	001
2	010	011
3	011	010
4	100	110
5	101	111
6	110	101
7	111	100

Binario → Gray

El MSB se copia. Cada bit Gray siguiente es el XOR de ese bit binario con el binario de su izquierda (el más significativo vecino). XOR: sale 1 si los dos bits son distintos.

G_MSB = B_MSB
G = (bit binario de la izquierda) XOR (bit binario de esta posición)

Ejemplo 1011₂ → Gray:

	MSB			LSB
Binario	1	0	1	1
Gray	1 (copia)	1 XOR 0 = 1	0 XOR 1 = 1	1 XOR 1 = 0

Gray = 1110.

Otro: 101101₂ (el 45 de antes) → copia el primer 1; luego XOR en cadena: 1⊕0=1, 0⊕1=1, 1⊕1=0, 1⊕0=1, 0⊕1=1 → 111011.

Gray → binario (vuelta)

El MSB se copia. Cada binario siguiente es el XOR del binario que ya sacaste (izquierda) con el Gray de esa posición.

B_MSB = G_MSB
B = (binario ya obtenido a la izquierda) XOR (Gray de esta posición)

1110 Gray → 1, 1⊕1=0, 0⊕1=1, 1⊕0=1 → 1011₂ (recuperaste el original).

Ejercicios (números distintos a los del ejemplo)

Hazlos en papel; el método tiene que funcionar si cambian el número.

1. Pasa 53₁₀ a binario, octal y hexadecimal.
2. Pasa 1101110₂ a decimal, octal y hex.
3. Pasa 3A₁₆ a binario y a decimal.
4. Escribe 86₁₀ en binario puro y en BCD. ¿En qué se diferencian?
5. Escribe 86₁₀ en exceso-3.
6. 0,375₁₀ a binario fraccionario.
7. Pasa 10110₂ a Gray y comprueba la vuelta Gray → binario.

Comprobaciones rápidas: (1) 53 = 110101₂ = 65₈ = 35₁₆. (2) 110 = 156₈ = 6E₁₆. (3) 0011 1010₂ = 58. (4) binario 1010110, BCD 1000 0110. (5) 8+3=11 → 1011, 6+3=9 → 1001 → 1011 1001. (6) 0,011₂. (7) Gray 11101; vuelta 10110.

Examen interactivo

Numeración y conversiones

Basado en: Rojas / Floyd cap. 2 — CALETAS

0 de 0 respondidas

En el mapa de conversiones, el camino habitual de decimal a hexadecimal es…

Decimal → binario → hex Agrupar los dígitos decimales de a 4 Solo Gray y después hex BCD directo a hex

En 101101₂, el MSB es…

El 1 de la derecha; vale 1 El 1 de la izquierda; vale 32 El 0; no aporta El bit 0

45₁₀ en binario puro es…

0100 0101 0010 1101 101101 111011

45₁₀ en BCD se obtiene…

Agrupando 101101 de a 4 bits Traduciendo el 4 y el 5 por separado: 0100 y 0101 Pasando a Gray y luego a níbles Sumando 3 a cada dígito

0,625₁₀ a binario fraccionario (×2, bits de arriba abajo) es…

0,110 0,011 0,100 0,101

1011₂ a código Gray (copiar MSB, luego XOR con el de la izquierda) es…

0100 1110 1011 0111

LSB se traduce como…

Last Stored Bit Least Significant Bit — bit menos significativo Left Side Bit — bit izquierdo Logic Sequential Bit

2D₁₆ a binario, con grupos de 4 bits, es…

101101 0010 1101 0100 0101 111011

Comprobar respuestas

Siguiente paso

Siguiente abre el trabajo de código Hamming (parcial I: reseña + (7,4)). Luego sigue álgebra booleana.

Marca la unidad en la ruta de estudio.